Question

如圖，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，的長(zhǎng)軸是圓的直徑，、是過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線(xiàn)，其中交圓于、兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；
（2）求面積的最大值及取得最大值時(shí)直線(xiàn)的方程.

Answer 1

（1）；當(dāng)直線(xiàn)的方程為時(shí)，的面積取最大值.

試題分析：（1）首先根據(jù)題中條件求出和的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）先設(shè)直線(xiàn)的方程為，先利用弦心距、半徑長(zhǎng)以及弦長(zhǎng)之間滿(mǎn)足的關(guān)系（勾股定理）求出直線(xiàn)截圓所得的弦長(zhǎng)
，然后根據(jù)直線(xiàn)與兩者所滿(mǎn)足的垂直關(guān)系設(shè)直線(xiàn)，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出直線(xiàn)截橢圓的弦長(zhǎng)，然后求出的面積的表達(dá)式，并利用基本不等式求出的面積的最大值，并求出此時(shí)直線(xiàn)的方程.
試題解析：（1）由題意得，橢圓的方程為；
（2）設(shè)、、，
由題意知直線(xiàn)的斜率存在，不妨設(shè)其為，則直線(xiàn)的方程為，
故點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，又圓，，
又，直線(xiàn)的方程為，
由，消去，整理得，
故，代入的方程得
，
設(shè)的面積為，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取等號(hào)，
當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，
此時(shí)直線(xiàn)的方程為