Question

若函數(shù)f（x）=x（lnx-a）（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）設(shè)g（x）=|f（x）|．
①求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
②若函數(shù)h（x）=

1

g(x)

的定義域?yàn)閇1，e²]，求函數(shù)h（x）的最小值m（a）．

Answer 1

分析：（1）將a=0代入f（x），即可得到f（x）的表達(dá)式，求出f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線的斜率k=f′（1），切點(diǎn)為（1，0），由點(diǎn)斜式即可得到函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的定義，先將g（x）=|f（x）|轉(zhuǎn)化為g（x）=

xlnx-ax，x≥ea ax-xlnx，x＜ea

，①對(duì)g（x）分兩段進(jìn)行分析，當(dāng)x≥e^a時(shí)，令g′（x）＞0和g′（x）＜0，求解即可得到g（x）的單調(diào)區(qū)間，當(dāng)x＜e^a時(shí)，令g′（x）＞0和g′（x）＜0，求解即可得到g（x）的單調(diào)區(qū)間；②根據(jù)h（x）的定義域，以及分母不為零，可以得到a＞2或a＜0，當(dāng)a＜0時(shí)，可以判斷函數(shù)g（x）在[1，e²]上單調(diào)遞增，從而得到g（x）的最大值，即可得到h（x）的最小值，當(dāng)2＜a＜3時(shí)，根據(jù)g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最大值，從而得到h（x）的最小值，當(dāng)a≥3時(shí)，根據(jù)g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最大值，從而得到h（x）的最小值，最后，將最小值根據(jù)a的不同取值范圍，寫成分段函數(shù)的形式，即可得到答案．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，
∴k=f′（1）=1，
又當(dāng)x=1時(shí)，y=0，
∴切點(diǎn)為（1，0），
∴函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y=x-1；
（2）∵g（x）=|f（x）|=|x（lnx-a）|=x|lnx-a|=

xlnx-ax，x≥ea ax-xlnx，x＜ea

，
①當(dāng)x≥e^a時(shí)，g′（x）=lnx+1-a＞0恒成立，
∴x∈（e^a，+∞）時(shí)，函數(shù)g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＜e^a時(shí)，g′（x）=a-1-lnx，令g′（x）=a-1-lnx＞0，得0＜x＜e^a-1，
令g′（x）=a-1-lnx＜0，得x＞e^a-1，
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e^a，+∞），（0，e^a-1）；單調(diào)減區(qū)間為（e^a-1，e^a）；
②當(dāng)x∈[1，e²]時(shí)，lnx∈[0，2]，
∵h(yuǎn)（x）=

1

g(x)

=

1

x|lnx-a|

的定義域?yàn)閇1，e²]，
∴a＞2或a＜0，
（i）當(dāng)a＜0時(shí)，e^a＜1，
∴函數(shù)g（x）在[1，e²]上單調(diào)遞增，則g（x）的最大值為（2-a）e²，
∴h（x）在區(qū)間[1，e²]上的最小值為m（a）=

1

(2-a)e2

；
（ii）當(dāng)2＜a＜3時(shí)，e²＜e^a，且1＜e^a-1＜e²，
∴函數(shù)g（x）在[1，e^a-1）上單調(diào)遞增，在（e^a-1，e²]上單調(diào)遞減，則g（x）的最大值為e^a-1，
∴h（x）在區(qū)間[1，e²]上的最小值為m（a）=

1

ea-1

；
（iii）當(dāng)a≥3時(shí)，e^a-1＞e²，
∴函數(shù)g（x）在[1，e²]上單調(diào)遞增，則g（x）的最大值為（a-2）e²，
∴h（x）在區(qū)間[1，e²]上的最小值為m（a）=

1

(a-2)e2

．
綜上所述，函數(shù)h（x）的最小值m（a）=

1 (2-a)e2 ，a＜0 1 ea-1 ，2＜a＜3 1 (a-2)e2 ，a≥3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題．對(duì)于函數(shù)的定義域是指使得函數(shù)的解析式有意義的取值范圍，要熟悉基本初等函數(shù)的定義域以及常見函數(shù)的限制條件．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時(shí)要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，然后求出跟對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．屬于中檔題．