Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+4與x軸交與點(diǎn)A，過點(diǎn)A的拋物線y=ax²+bx與直線y=-x+4交與另一點(diǎn)B，B的橫坐標(biāo)為1．
（1）點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)D為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E為該拋物線上一點(diǎn)，且D、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1，求△CDE面積．
（2）如圖2，P為直線AB上方的拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），PM⊥x軸于點(diǎn)M，交線段AB于點(diǎn)F，PN∥AB，交x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作FG∥x軸，交PN于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），F(xiàn)G的長(zhǎng)度為d，求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式及FG長(zhǎng)度的最大值，且求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）令y=0，可得A（4，0），令x=1，可得B（1，3），再代入拋物線方程，得到方程組，解出a，b，即可得到拋物線方程，進(jìn)而得到C，D，E的坐標(biāo)，再由面積公式，即可得到△CDE面積；
（2）由M的坐標(biāo)，即可得到P，F(xiàn)的坐標(biāo)，再由PN∥AB，得到直線PN的方程，即可得到G的坐標(biāo)，即可得到距離d，再由m∈（1，4），求出最大值，以及點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由于直線y=-x+4與x軸交于點(diǎn)A，則A（4，0）．
由于過點(diǎn)A的拋物線y=ax²+bx與直線y=-x+4交于另一點(diǎn)B，B的橫坐標(biāo)為1，
則B（1，3）．
由

16a+4b=0 a+b=3

，解得

a=-1 b=4

，
則有拋物線y=-x²+4x，
即有頂點(diǎn)C（2，4），D（3，1），E（2±

3

，1）
則S_△DEC=

1

2

×3×|2±

3

-3|=

3

2

（

3

±1）；
（2）由于M的坐標(biāo)為（m，0），
則P（m，4m-m²），F(xiàn)（m，4-m），
由于PN∥AB，
則直線PN：y-4m+m²=-（x-m），即y=-x+5m-m²，
當(dāng)y=4-m時(shí)，x=6m-m²-4，
即有G的坐標(biāo)為（6m-m²-4，4-m），
則d=|6m-m²-4-m|=|-m²+5m-4|，
由于m∈（1，4），
則-m²+5m-4＞0
則有，d=-m²+5m-4．
當(dāng)m=

5

2

時(shí)，d_max=-

25

4

+

25

2

-4=

9

4

，
把m=

5

2

代入得P點(diǎn)坐標(biāo)（

5

2

，

15

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程和運(yùn)用，考查直線方程及運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．