Question

設關于x的方程x²-mx-1=0有兩個實根α，β（α＜β），函數(shù)f（x）=

2x-m

x2+1

．
（Ⅰ）求證：不論m取何值，總有αf（α）=1；
（Ⅱ）判斷f（x）在區(qū)間（α，β）的單調性，并加以證明；
（Ⅲ）若λ，μ均為正實數(shù)，證明：|f(

λα+μβ

λ+μ

)-f(

μα+λβ

λ+μ

)|＜|α-β|．

Answer 1

考點：不等式的證明,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由α，β是方程x²-mx-1=0的兩個實根，根據(jù)韋達定理，結合f（x）=

2x-m

x2+1

，化簡，即可得出αf（α）=1；
（Ⅱ）利用f'（x）＞0，可得結論；
（Ⅲ）證明|f(

λα+μβ

λ+μ

)-f(

μα+λβ

λ+μ

)|＜|f(α)-f(β)|，由（Ⅰ）可知，f(α)=

1

α

，f(β)=

1

β

，αβ=-1，即可證明結論．

解答： 證明：（Ⅰ）∵α，β是方程x²-mx-1=0的兩個根，∴α+β=m，αβ=-1，
∴f(α)=

2α-m

α2+1

=

2α-(α+β)

α2-αβ

=

α-β

α(α-β)

=

1

α

，
∴αf（α）=1…（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=-

2(x2-mx-1)

(x2+1)2

=-

2(x-α)(x-β)

(x2+1)2

，
當x∈（α，β）時，f'（x）＞0，∴f（x）在（α，β）上單調遞增；…（8分）
（Ⅲ）∵

λα+μβ

λ+μ

-α=

μ(β-α)

λ+μ

＞0，同理可證：α＜

λα+μβ

λ+μ

＜β
∴由（Ⅱ）可知：f(α)＜f(

λα+μβ

λ+μ

)＜f(β)，f(α)＜f(

μα+λβ

λ+μ

)＜f(β)，
∴|f(

λα+μβ

λ+μ

)-f(

μα+λβ

λ+μ

)|＜|f(α)-f(β)|，…（12分）
由（Ⅰ）可知，f(α)=

1

α

，f(β)=

1

β

，αβ=-1，
∴|f(α)-f(β)|=|

1

α

-

1

β

|=|

β-α

αβ

|=|α-β|，
∴|f(

λα+μβ

λ+μ

)-f(

μα+λβ

λ+μ

)|＜|α-β|．…（14分）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，函數(shù)的單調性的判斷與證明，一元二次方程根與系數(shù)的關系（韋達定理），熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系（韋達定理）是解答的關鍵．