Question

(本小題滿分14分)  設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時，若函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅲ）若，不等式對任意恒成立，求整數(shù)的最大值．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ） ；（Ⅱ）；（Ⅲ） ，整數(shù)的最大值為3 .

【解析】（1）當(dāng)時，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出

寫出切線方程；

（2）當(dāng)，函數(shù)在上是增函數(shù)，只需在 上恒成立，可利用二次函數(shù)的性質(zhì)直接求在上最小

值大于或等于0，關(guān)鍵是討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系；也可以分離參數(shù)求最值；

（3）當(dāng)，易得函數(shù)在上遞增，要證，只需證，構(gòu)造，研究單調(diào)性求其最小值，只需。

的最大值為3 .

解：（Ⅰ）當(dāng)時，  所以  即切點(diǎn)為 

 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912115535883426/SYS201207091212515463372900_DA.files/image023.png"> 所以  

所以切線方程為  即

（Ⅱ）y=f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增，又 

方法一：（求函數(shù)的最值，即二次函數(shù)的動軸定區(qū)間最值）依題意在[－1，1]上恒有≥0，即 

①當(dāng)；所以舍去；

②當(dāng)； 所以舍去；

③當(dāng) 

綜上所述，參數(shù)a的取值范圍是。

方法二：（分離參數(shù)法）

（Ⅲ）

由于，所以

所以函數(shù)在上遞增

所以不等式 對恒成立

構(gòu)造        

構(gòu)造      

對 ，  所以在遞增

所以,

所以,所以在遞減

,所以在遞增

所以, 結(jié)合得到

 

所以對恒成立，  所以 ，整數(shù)的最大值為3