Question

【題目】無窮數(shù)列滿足：為正整數(shù)，且對(duì)任意正整數(shù)，為前項(xiàng)、、、中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù).

（1）若，求和的值；

（2）已知命題 存在正整數(shù)，使得，判斷命題的真假并說明理由；

（3）若對(duì)任意正整數(shù)，都有恒成立，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）真命題，證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)題意直接寫出、、的值，可得出結(jié)果；

（2）分和兩種情況討論，找出使得等式成立的正整數(shù)，可得知命題為真命題；

（3）先證明出“”是“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”的充要條件，由此可得出，然后利用定義得出，由此可得出的值.

（1）根據(jù)題意知，對(duì)任意正整數(shù)，為前項(xiàng)、、、中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，

因此，，，；

（2）真命題，證明如下：

①當(dāng)時(shí)，則，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，，

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，.

綜上所述，命題為真命題；

（3）先證明：“”是“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”的充要條件.

假設(shè)存在，使得“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”.

則數(shù)列的前項(xiàng)為，，

，，

，，

后面的項(xiàng)順次為，

，

，

，

故對(duì)任意的，

，

對(duì)任意的，取，其中表示不超過的最大整數(shù)，則，

令，則，此時(shí)，

有，這與矛盾，

故若存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立，必有；從而得證.

另外：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為，

故，則.