Question

若函數(shù)f（x）=log

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2

（x²-ax+1）
（1）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)的值域?yàn)镽，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)在（-∞，1-

3

）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零和題意得：x²-ax+1＞0對(duì)任意x∈R都成立，則△＜0，再求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，說(shuō)明對(duì)數(shù)的真數(shù)取到所有的正數(shù)，可得△≥0，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)t=x²-ax+1，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零列出不等式組，求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意得，x²-ax+1＞0對(duì)任意x∈R都成立，
則△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2
所以a的取值范圍是（-2，2）；
（2）要使函數(shù)的值域是R，只要△=a²-4≥0，得a≤-2或a≥2，
所以a的取值范圍（-∞，-2]∪[2，+∞）；
（3）設(shè)t=x²-ax+1，則函數(shù)y=log

1

2

t（t＞0）在定義域上是減函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（-∞，1-

3

）上是增函數(shù)，
所以函數(shù)t=x²-ax+1在（-∞，1-

3

）上是減函數(shù)，
則

a 2 ≥1- 3 f(1- 3 )=(1- 3 )2-a(1- 3 )+1≥0

，
解得a≥2（1-

3

），
所以a的取值范圍是[2（1-

3

），+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．