Question

函數f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且≠1）是定義域為R的奇函數．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，試判斷函數單調性并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是定義域為R的奇函數，∴f（0）=0，
∴1-（k-1）=0，∴k=2．
當k=2時，f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），∴f（-x）=-f（x）成立
∴f（x）是定義域為R的奇函數；
（2）函數f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a-＜0，
∵a＞0，∴1＞a＞0．
由于y=a^x單調遞減，y=a^-x單調遞增，故f（x）在R上單調遞減．
不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0，可化為f（x²+tx）＜f（x-4）．
∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．
分析：（1）根據奇函數的性質可得f（0）=0，由此求得k值．
（2）由f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上單調遞減，不等式化為f（x²+tx）＜f（x-4），即x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范圍．
點評：本題考查指數型復合函數的性質以及應用，考查函數的奇偶性的應用，屬于中檔題．