Question

我市某服裝廠生產的服裝供不應求，A車間接到生產一批西服的緊急任務，要求必須在12天內完成．為了加快進度，車間采取工人分批日夜加班，機器滿負荷運轉的生產方式，生產效率得到了提高，每天生產的西服數(shù)量y（套）與時間x（天）的關系如下表：

時間x（天）	1	2	3	4	…
每天產量y（套）	22	24	26	28	…

平均每套西服的成本z（元）與時間x（天）的關系如圖：
請解答下列問題．
（1）求每天生產的西服數(shù)量y（套）與x（天）之間的關系式及成本z（元）與x（天）之間的關系式．
（2）已知這批西服的訂購價格為每套1400元，設該車間每天的利潤為W（元），試求出日利潤W（元）與時間x（天）之間的函數(shù)關系式，并求出哪一天該車間獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
（3）在實際銷售中，廠家決定從第13天起，每天按日最大利潤進行生產并完全售出．生產7天后，由于機器損耗等原因，平均每套西服的成本比日最大利潤時增加0.5a%（a＜50），所以廠家把定購價提高了200元再生產8天，但這8天的日銷量比日最大利潤時的銷量下降了a%，根據(jù)銷售記錄顯示，這8天的銷售利潤的總和與前7天的銷售利潤總和持平，求整數(shù)a．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)表格可以發(fā)現(xiàn)，y與x滿足一次函數(shù)關系，故可設y=kx+b．結合表格得到k，b的方程組解之即可；結合函數(shù)圖象可得出z與x的函數(shù)關系式（前一段常數(shù)，后一段一次函數(shù)）；
（2）根據(jù)利潤等于訂購價-成本價，分1≤x≤5與6＜x≤10兩段分別列出利潤函數(shù)，分別求出最大值，再大中取大；
（3）利用這8天的利潤總和與前7天的銷售利潤總和持平，可得出關于a的方程，解出即可．

解答： 解：（1）由表格知，y是x的一次函數(shù)：
設y=kx+b，則

22=k+b 24=2k+b

⇒k=2，b=20．
所以每天生產的西服數(shù)量y（套）與x（天）之間的關系式：y=2x+20，
由函數(shù)圖象可得：z=

400，(1≤x≤5) 40x+200，(6≤x≤10)

．
（2）當1≤x≤5時，W=2000x+20000，
當x=5時，最大是30000元，
當6≤x≤10時，W=-80（x-10）²+32000，
當x=10時，W最大是32000元，
綜上所述：第10天利潤最大，最大利潤是32000元；
（3）當獲得最大利潤時，x=10，此時銷量y=2×10+20=40件，平均每套西服的成本為40×10+200=600元，
由題意得：[1600-600（1+0.5a%）]×40（1-a%）×8=32000×7，
令a%=m，原方程可化為：3m²-13m+3=0，
解得：m₁≈4.09（不符合題意，舍去），m₂≈0.245，
即m=0.245，a取整數(shù)為25．
所以，這8天的銷售利潤的總和與前7天的銷售利潤總和持平，整數(shù)a的值為25．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應用，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、分段函數(shù)及一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是列出函數(shù)關系式，注意掌握配方法求最值的應用．