Question

15．如圖，已知PA切⊙O于點(diǎn)A，D為PA的中點(diǎn)，過點(diǎn)D引割線交⊙O于B、C兩點(diǎn)．PD=2，PB=3，$DB=\frac{3}{2}$，則PC=4．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的切割線定理，求出DC、BC的長(zhǎng)，再由余弦定理，求出cos∠PBD以及PC的長(zhǎng)．

解答 解：∵PA切⊙O于點(diǎn)A，
∴DA²=DB•DC；
又D為PA的中點(diǎn)，PD=2，$DB=\frac{3}{2}$，
∴2²=$\frac{3}{2}$•DC，
解得DC=$\frac{8}{3}$，
∴BC=DC-DB=$\frac{8}{3}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{6}$；
在△PBD中，由余弦定理得，
cos∠PBD=$\frac{{PB}^{2}{+DB}^{2}{-PD}^{2}}{2PB•DB}$=$\frac{{3}^{2}{+（\frac{3}{2}）}^{2}{-2}^{2}}{2×3×\frac{3}{2}}$=$\frac{29}{36}$；
在△PBC中，由余弦定理得，
PC²=PB²+CB²-2PB•BCcos∠PBC=3²+${（\frac{7}{6}）}^{2}$-2×3×$\frac{7}{6}$×（-$\frac{29}{36}$）=16，
∴PC=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切割線定理以及余弦定理的靈活應(yīng)用問題，是綜合性題目．