Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹ （n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log

an

n+1

2，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，若存在整數(shù)m，使對(duì)任意n∈N*且n≥2，都有B_3n-B_n＞

m

20

成立，求m的最大值；
（Ⅲ）令c_n=（-1）ⁿ⁺¹log

an

n+1

2，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，T_2n＜

2

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題中給出的設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n便可求出數(shù)列{

an

2n

}是公差為1的等差數(shù)列，將a1=4代入便可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）先求出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，然后求寫前n項(xiàng)和Bn的表達(dá)式，進(jìn)而求出的B_3n-B_n表達(dá)式，然后證明B_3n-B_n為遞增數(shù)列，即當(dāng)n=2時(shí)，B_3n-B_n最小，便可求出m的最大值．
（Ⅲ）先將所需證明的不等式化簡(jiǎn)為

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

2

2

，然后利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)證明g（x）=ln（x+1）-

x

x+1

為增函數(shù)，即可證明當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，T_2n＜

2

2

．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，所以數(shù)列{

an

2n

}是公差為1的等差數(shù)列．（2分）
又S₁=a₁=2a₁-2²，，所以a₁=4．
所以

an

2n

=2+（n-1）=n+1，故a_n=（n+1）•2ⁿ．（4分）
（注：該問也可用歸納，猜想，數(shù)學(xué)歸納法證明的方法）
（Ⅱ）因?yàn)閎_n=log

an

n+1

2=log_2n2=

1

n

，則B_3n-B_n=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

．
令f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

，
則f（n+1）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

+

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

．
所以f（n+1）-f（n）=

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

-

1

n+1

=

1

3n+1

+

1

3n+2

-

2

3n+3

＞

1

3n+3

+

1

3n+3

-

2

3n+3

=0．
即f（n+1）＞f（n），所以數(shù)列{f（n）}為遞增數(shù)列．（7分）
所以當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）的最小值為f（2）=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

．
據(jù)題意，

m

20

＜

19

20

，即m＜19．又m為整數(shù)，
故m的最大值為18．（8分）
（Ⅲ）證明：因?yàn)閏_n=（-1）ⁿ⁺¹•

1

n

，則當(dāng)n≥2時(shí)，
T_2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=（1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2n-1

+

1

2n

）-2（

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

．（9分）
下面證

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

2

2

．
先證一個(gè)不等式，當(dāng)x＞0時(shí)，ln（x+1）＞

x

x+1

．
令g（x）=ln（x+1）-

x

x+1

（x＞0），則g′（x）=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

＞0，
∴g（x）在（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增，
則g（x）＞g（0）=0，即當(dāng)x＞0時(shí)，ln（x+1）＞

x

x+1

，
令x=

1

n

，則ln

n+1

n

＞

1

n+1

?ln（n+1）-lnn＞

1

n+1

，
∴l(xiāng)n（n+2）-ln（n+1）＞

1

n+2

，
ln（n+3）-ln（n-2）＞

1

n+3

，
…，
ln（2n）-ln（2n-1）＞

1

2n

以上n個(gè)式相加，即有l(wèi)n（2n）-lnn＞

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

∴

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜ln（2n）-lnn＜ln2＜

2

2

從而原不等式得證．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、放縮法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題和解決問題的能力，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．