Question

已知a＞0，設(shè)

lim

n→∞

an

1+an

=m，則m取值范圍的集合是（　　）

• A．{0，

  1

  2

  ，1}
• B．{0，1}
• C．{0，

  1

  2

  }
• D．{

  1

  2

  ，1}

Answer 1

分析：首先分析題目已知a＞0，設(shè)

lim

n→∞

an

1+an

=m，求m的取值范圍的集合．可以考慮分類討論a的取值范圍：當(dāng)0＜a＜0時(shí)候，當(dāng)a=1時(shí)候，當(dāng)a＞0時(shí)候，極限的取值，即可得到m的取值范圍．

解答：解：已知a＞0，設(shè)

lim

n→∞

an

1+an

=m，
當(dāng)0＜a＜0時(shí)候，

lim

n→∞

an=0，則

lim

n→∞

an

1+an

=0，故m=0
當(dāng)a=1時(shí)候，

lim

n→∞

an=1，則

lim

n→∞

an

1+an

=

1

2

，故m=

1

2

當(dāng)a＞0時(shí)候，

lim

n→∞

1

an

=0，則

lim

n→∞

an

1+an

= 

lim

n→∞

 

1

1 an +1

=1，故m=1．
故選A．

點(diǎn)評：此題主要考查極限及其運(yùn)算問題，其中涉及到等比數(shù)列極限的問題以及分類討論的思想，這兩個(gè)考點(diǎn)都屬于重點(diǎn)考點(diǎn)，在高考中多次出現(xiàn)，同學(xué)們需要注意．