Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程是y=-2x+1，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ） 求實(shí)數(shù)a、b的值；
（Ⅱ） 求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），則f′（0）=-2和點(diǎn)（0，f（0））在直線y=-2x+1上，得出方程組，求出a、b的值．
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷f（x）在區(qū)間[-2，3]上的單調(diào)性，再求出其值域．

解答： 解：（Ⅰ） 由f（x）=（x²+ax+b）e^x，得f'（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程是y=-2x+1，
所以

f(0)=1 f′(0)=-2

即

b=1 a+b=-2

解得a=-3，b=1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x²-3x+1）e^x，f'（x）=（x²-x-2）e^x=（x+1）（x-2）e^x，（8分）
令f'（x）=0，得x₁=-1或x₂=2．f（x）與f'（x）的關(guān)系如下表：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	11e-2	↗	5 e	↘	-e2	↗	e3

由上表可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3]上的值域是[-e²，e³]．（12分）

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在求切線上的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)要閉區(qū)間上的值域，是一道導(dǎo)數(shù)的綜合題，屬于中檔題．