Question

定義在R上的函數(shù)f（x），對任意的x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1成立．
（1）令F（x）=f（x）+1，求證：F（x）為奇函數(shù)；
（2）若f（1）=1，且函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，解不等式f（3x+2）＞f（2x+3）+4．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0得，f（0）=-1；令y=-x得f（-x）=-f（x）-2；然后定義法可證明F（x）為奇函數(shù)．（2）f（1）=1得f（2）=3，然后由f（x+y）=f（x）+f（y）+1得f（3x+2）=f（3x）+4，帶入不等式去掉4，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求解．

解答： 解：（1）證明：令x=y=0得，f（0）=-1，
令y=-x得，f（0）=f（x）+f（-x）+1，則f（-x）=-f（x）-2，
函數(shù)f（x）定義域為R，則F（x）=f（x）+1定義域也為R，
且F（-x）=f（-x）+1=-f（x）-2+1=-f（x）-1=-[f（x）+1]=-F（x），
則F（x）為奇函數(shù)得證．
（2）∵f（1）=1，
∴令x=y=1，得f（2）=f（1）+f（1）+1=3，
∵f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
∴f（3x+2）=f（3x）+f（2）+1=f（3x）+4，
∴不等式f（3x+2）＞f（2x+3）+4即為f（3x）+4＞f（2x+3）+4
∴f（3x）＞f（2x+3），
又∵函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，
∴3x＞2x+3
∴x＞3．

點評：新定義題關(guān)鍵是給變量取不同的值得到解題的基礎(chǔ)數(shù)值或式子．