Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-$\frac{2}{x}$+a，a∈R，若方程f（x）=1有且只有三個不同的實數(shù)根，且三個根成等差數(shù)列，則滿足條件的實數(shù)a有（　　）個．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為|x-a|+a=$\frac{2}{x}$+1，構(gòu)造函數(shù)h（x），利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：由f（x）=1得|x-a|-$\frac{2}{x}$+a=1，即|x-a|+a=$\frac{2}{x}$+1，
設(shè)h（x）=|x-a|+a，g（x）=$\frac{2}{x}$+1，
h（x）=|x-a|+a的頂點（a，a）在y=x上，而y=x與g（x）的交點坐標(biāo)為（2，2），（-1，-1），
∴當(dāng)a≤-1時，f（x）=1有明顯的兩個根-1和2，第3個根應(yīng)為-4，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{1}{2}=-（x+4）}\\{y=x}\end{array}\right.$，得a=-$\frac{7}{4}$，
∴當(dāng)-1＜a≤2時，f（x）=1有明顯的根2，設(shè)另外兩個根為2-d，2-2d，
則點A（2-d，$\frac{2}{2-d}$+1），B（2-2d，$\frac{2}{2-2d}$+1）連線斜率k=-1，
得d=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
則得AB的方程為：y-$\sqrt{5}$=-（x-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$），與y=x聯(lián)立得a=$\frac{3\sqrt{5}+1}{4}$，
∴a＞2時，方程只有一根f（x）=1，不滿足條件．
綜上滿足條件的實數(shù)a有2個，
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用轉(zhuǎn)化法和數(shù)形結(jié)合法，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．