Question

7．已知m，n∈N^*，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展開(kāi)式中x的系數(shù)為19，則當(dāng)x²的系數(shù)最小時(shí)展開(kāi)式中x⁷的系數(shù)為156．

Answer 1

分析 m，n∈N^*，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展開(kāi)式中x的系數(shù)為19，可得m+n=19．則當(dāng)x²的系數(shù)=${∁}_{m}^{2}+{∁}_{n}^{2}$=n²-19n+171=$（n-\frac{19}{2}）^{2}$+$\frac{323}{4}$．可得n=10或9時(shí)，x²的系數(shù)取得最小值．可得f（x）=（1+x）⁹+（1+x）¹⁰．再利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：m，n∈N^*，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展開(kāi)式中x的系數(shù)為19，
∴m+n=19．
則當(dāng)x²的系數(shù)=${∁}_{m}^{2}+{∁}_{n}^{2}$=$\frac{m（m-1）+n（n-1）}{2}$=$\frac{（19-n）（18-n）+n（n-1）}{2}$=n²-19n+171=$（n-\frac{19}{2}）^{2}$+$\frac{323}{4}$．
∴n=10或9時(shí)，x²的系數(shù)最小為：81．
∴f（x）=（1+x）⁹+（1+x）¹⁰．
展開(kāi)式中x⁷的系數(shù)=${∁}_{9}^{7}+{∁}_{10}^{7}$=156．
故答案為：156．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．