Question

已知函數(shù)f（x）=x²+px+q，若集合{x|f（x）=x}中僅有一個(gè)元素2，
（1）求實(shí)數(shù)p，q的值；
（2）求集合{x|f（x-1）=x+1}．

Answer 1

解：（1）f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，f（x）=x²+px+q=x，
可得方程x²+（p-1）x+q=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根為2，說明可以湊成完全平方式，
∴x²+（p-1）x+q=（x-2）²=x²-4x+4，∴p-1=-4，q=4，
所以p=-3，q=4；
（2）f（x-1）=x+1即是：（x-1）²-3（x-1）+4=x+1，
解得x=3±，
∴{x|f（x-1）=x+1}={3+，3-}．
分析：（1）已知函數(shù)f（x）=x²+px+q，若集合{x|f（x）=x}中僅有一個(gè)元素2，將問題轉(zhuǎn)化為方程x²+（p-1）x+q=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根為2，可以方程可以湊成完全平方式，利用系數(shù)相等，可以求解；
（2）由（1）求得的解析式f（x），代入f（x-1）=x+1，得到一個(gè)方程，解出方程的解，就是集合的元素；
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，以及方程有一個(gè)實(shí)根的情況，可以將其湊成完全平方式來求解，此題是一道基礎(chǔ)題；