Question

【題目】若集合M滿足：x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，則稱集合M是封閉的．顯然，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q都是封閉的．對于封閉的集合M（MR），f：M→M是從集合到集合的一個函數(shù)， ①如果都有f（x+y）=f（x）+f（y），就稱是保加法的；
②如果x，y∈M都有f（xy）=f（x）f（y），就稱f是保乘法的；
③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就稱f在M上是保運算的．
在上述定義下，集合 封閉的（填“是”或“否”）；若函數(shù)f（x）在Q上保運算，并且是不恒為零的函數(shù)，請寫出滿足條件的一個函數(shù)f（x）= ．

Answer 1

【答案】是；f（x）=x，x∈Q
【解析】解：設x= m+n，y= a+b，m，n，a，b∈Q， ∴x+y= m+n+ a+b= （m+a）+（n+b），m+a，n+b∈Q，
即f（x+y）=f（x）+f（y），
∴xy=（ m+n）（ a+b）=3ma+ （mb+an）+bn= （mb+an）+（bn+3ma），mb，an，bn，3ma∈Q，
∴f（xy）=f（x）f（y），
∴上述定義下，集合 是封閉的，
當f（x）=x，x∈Q滿足條件，
設m，n∈Q，
∴f（m+n）=m+n=f（m）+f（n），
f（mn）=mn=f（m）f（n），
所以答案是：是，f（x）=x，x∈Q