Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-ln$\frac{1}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{e}$，e²]上的最大值和最小值；
（2）證明：當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)g（x）=$\frac{2}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²的圖象在y=f（x）的圖象上方．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值和最大值即可；
（2）令F（x）=g（x）-f（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$，
∵x≥$\frac{1}{e}$，∴f′（x）＞0，
f（x）在[$\frac{1}{e}$，e²]上遞增，
∴f（x）_最小值=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$-1，f（x）_最大值=f（e²）=e⁴+2；
（2）證明：令F（x）=g（x）-f（x）=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx，
則F′（x）=$\frac{{2x}^{3}{-x}^{2}-1}{x}$，
令h（x）=2x³-x²-1，∵x＞1，
∴h′（x）=2x（3x-1）＞0，
h（x）在（1，+∞）遞增，h（x）＞h（1）=0，
∴x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
∴F（x）在（1，+∞）遞增，
F（x）＞F（1）=$\frac{1}{6}$＞0，即g（x）＞f（x），
∴x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)g（x）的圖象在y=f（x）圖象的上方．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．