Question

4．定義點(diǎn)P（x₀，y₀）到直線l：Ax+By+C=0（A²+B²≠0）的有向距離為d=$\frac{{A{x_0}+B{y_0}+C}}{{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}}$．已知點(diǎn)P₁，P₂到直線l的有向距離分別是d₁，d₂，給出以下命題：
①若d₁=d₂，則直線P₁P₂與直線l平行；
②若d₁=-d₂，則直線P₁P₂與直線l垂直；
③若d₁•d₂＞0，則直線P₁P₂與直線l平行或相交；
④若d₁•d₂＜0，則直線P₁P₂與直線l相交，
其中所有正確命題的序號(hào)是③④．

Answer 1

分析 根據(jù)有向距離的定義，及點(diǎn)P（x₀，y₀）與Ax₁+By₁+C的符號(hào)，分別對(duì)直線P₁P₂與直線l的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．

解答 解：對(duì)于①，若d₁-d₂=0，則若d₁=d₂，∴Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C，
∴若d₁=d₂=0時(shí)，即Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
則點(diǎn)P₁，P₂都在直線l，∴此時(shí)直線P₁P₂與直線l重合，∴①錯(cuò)誤．
對(duì)于②，由①知，若d₁=d₂=0時(shí)，滿足d₁+d₂=0，
但此時(shí)Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
則點(diǎn)P₁，P₂都在直線l，∴此時(shí)直線P₁P₂與直線l重合，∴②錯(cuò)誤．
對(duì)于③，若d₁•d₂＞0，即（Ax₁+By₁+C）（Ax₂+By₂+C）＞0，
∴點(diǎn)P₁，P₂分別位于直線l的同側(cè)，∴直線P₁P₂與直線l相交或平行，∴③正確；
對(duì)于④，若d₁•d₂＜0，即（Ax₁+By₁+C）（Ax₂+By₂+C）＜0，
∴點(diǎn)P₁，P₂分別位于直線l的兩側(cè)，∴直線P₁P₂與直線l相交，∴④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與直線距離有關(guān)的命題的判斷，利用條件推出點(diǎn)與直線的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，屬于難題．