Question

在數(shù)列{a_n中，a₁=a（a＞2）且an+1=

an2

2(an-1)

(n∈N*)
（1）求證a_n＞2（n∈N^*）；
（2）求證a_n+1＜a_n（n∈N^*）；
（3）若存在k∈N^*，使得a_k≥3，求證：k＜

ln 3 a

ln 3 4

+1．

Answer 1

分析：（1）本題的思路是用數(shù)學歸納法來證明，在從n=k到n=k+1時利用歸納假設時要充分變形，對分式進行分離變式，即ak+1=

ak2

2(ak-1)

變形為：

1

2

[(a k-1)+

1

ak-1

+2]，然后用上歸納假設a_k＞2，利用均值不等式可以解答了．
（2）證明a_n+1＜a_n，可以利用作差變形來證明，本題會用到（1）的結論，這一點要想到！
（3）的證明有一定難度，但是只要耐心，細心分析，不難找到解答思路．由已知a_k≥3要構造出a_k的表達式來，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解出k的范圍．本問可以先由要求證的問題k＜

ln 3 a

ln 3 4

+1推演出a(

3

4

)k-1＞3，那么聯(lián)想條件a_k≥3，再利用放縮法構造出的a_k的關系式來，問題就迎刃而解了．

解答：證明：（1）①當n=1時，a₁=a＞2，命題成立；
設當n=k時（k≥1且n∈N^*）命題成立，即a_k＞2
而n=k+1時，ak+1=

ak2

2(ak-1)

=

1

2

[(a k-1)+

1

ak-1

+2]
∵a_k＞2，∴a_k-1＞1，∴ak-1≠

1

ak-1

，
∴(a k-1)+

1

ak-1

＞2∴ak+1＞

1

2

[2+2]=2，
∴n=k+1時，a_k+1＞2，命題也成立beiwen
由①②對一切n∈N^*有a_n＞2
（2）an+1-an=

-an(an-2)

2(an-1)

∵a_n＞2，
∴a_n+1-a_n＜0，
∴a_n+1＜a_n
（3）∵a_n+1＜a_n，a_k≥3∴a₁＞a₂＞a₃＞…＞a_k-1＞a_k≥3
∴

ak

ak-1

=

ak-1

2(ak-1-1)

=

1

2

[1+

1

ak-1-1

]＜

1

2

(1+

1

3-1

)=

3

4

即

ak

ak-1

＜

3

4

∴ak=a1•

a2

a1

•

a3

a2

•…•

ak

ak-1

＜a1•

3

4

•

3

4

•…•

3

4

=a(

3

4

)k-1
∴3≤ak＜a(

3

4

)k-1，
∴a(

3

4

)k-1＞3，
∵a＞3，
∴(

3

4

)k-1＞

3

a

∴(k-1)ln

3

4

＞ln

3

a

，又ln

3

4

＜0∴k＜

ln 3 a

ln 3 4

+1

點評：本題考查不等式的證明，綜合考查了數(shù)學歸納法，放縮法，作差法等方法；對不等式結構的變形和靈活處理是本題的難點和關鍵所在，特別是在運用放縮法的時候更加體現(xiàn)出學生靈活的頭腦，熟練處理各種變形的機智和果敢．本題在某一個環(huán)節(jié)處理不當將導致解答錯誤或者出力而不討好的結局．