Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且當x＜0時，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：對任意的x∈R都有f（x）＞0；
（3）求證：f（x）在R上為減函數(shù)；
（4）當f（4）=

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時，解不等式f（x-3）•f（5-x²）＜

1

4

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,其他不等式的解法

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）令a=b=0，求得f（0）=0或1．檢驗f（0）=0不成立；
（2）可令a=b=

x

2

，則f（x）=f²（

x

2

）≥0，檢驗f（x）=0不成立；
（3）運用單調(diào)性的定義，結(jié)合條件x＜0時，f（x）＞1恒成立，即可得證；
（4）求出f（2）=

1

4

，化簡不等式，結(jié)合單調(diào)性，即可得到解集．

解答： （1）解：由于f（a+b）=f（a）•f（b），則f（0）=f²（0），
即有f（0）=0或1．
若f（0）=0，則令a=x，b=0，有f（x）=0不成立，
故f（0）=1．
（2）證明：由于f（a+b）=f（a）•f（b），
可令a=b=

x

2

，則f（x）=f²（

x

2

）≥0，由當x＜0時，f（x）＞1，
則f（x）≠0，故有對任意的x∈R都有f（x）＞0；
（3）證明：設(shè)x₁＞x₂，則x₂-x₁＜0，
當x＜0時，f（x）＞1恒成立，則f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₁）+f（x₂-x₁）=f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)；
（4）解：當f（4）=

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時，則有f（4）=f²（2），
即有f（2）=

1

4

，
不等式f（x-3）•f（5-x²）＜

1

4

，即為f（2+x-x²）＜f（2），
由于函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)，
則2+x-x²＜2，解得x＞1或x＜0．
即有解集為（1，+∞）∪（-∞，0）．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的單調(diào)性及判斷，以及運用：解不等式，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．