如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知BD=2AD=8, AB=2DC=
.
(1)設M是PC上的一點,
證明:平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱錐P-ABCD的體積.
(1)證明 在△ABD中,由于AD=4,BD=8,AB=,
所以AD2+BD2=AB2.故AD⊥BD. ……………………………………………………2分
又平面PAD⊥平面ABCD,平面平面ABCD=AD,
平面ABCD,
所以BD⊥平面PAD,………………………………………………………4分
又
平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD. ………………7分
(2)解 過P作PO⊥AD交AD于O,
由于平面PAD⊥平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD.
因此PO為四棱錐P-ABCD的高,……………………………9分
又△PAD是邊長為4的等邊三角形,
因此………………………………10分
在底面四邊形ABCD中,AB∥DC, AB=2DC, 所以四邊形ABCD是梯形,
在Rt△ADB中,斜邊AB邊上的高為
此即為梯形ABCD的高,
所以四邊形ABCD的面積為…………………………12分
故 ………………………………………………………14分
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