Question

20．設(shè)$f（x）={e^x}（{x-\frac{a-1}{x}}），g（x）=aln{x_{\;}}_{\;}（{e=2.71828…}）$．
（I）當(dāng)a＞1時(shí)，討論函數(shù)$F（x）=\frac{f（x）}{e^x}-g（x）$的單調(diào)性；
（II）求證：當(dāng)a=0時(shí)，不等式$f（x）＞2\sqrt{e}$對(duì)任意x∈（0，+∞）都成立．

Answer 1

分析 （I）求得F（x）的解析式，求導(dǎo)，求得F′（x）=0的兩個(gè)根，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論即可求得函數(shù)的F（x）的單調(diào)性；
（II）當(dāng)a=0時(shí)，求導(dǎo)，構(gòu)造輔助函數(shù)，h（x）=x³+x²+x-1，求得函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的零點(diǎn)x₀，x₀∈（$\frac{1}{2}$，1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，采用放縮法，即可求證$f（x）＞2\sqrt{e}$對(duì)任意x∈（0，+∞）都成立．

解答 解：（I）$F（x）=\frac{f（x）}{e^x}-g（x）$=x-$\frac{a-1}{x}$-alnx（x＞0），
求導(dǎo)，F(xiàn)′（x）=1+$\frac{a-1}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$=$\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{{x}^{2}}$（x＞0），
①當(dāng)0＜a-1＜1時(shí)，即1＜a＜2時(shí)，
F′（x），F(xiàn)（x）隨x的變化情況，

x	（0，a-1）	a-1	（a-1，1）	1	（1，+∞）
F′（x），	+	0	-	0	+
F（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由表可知F（x）在（0，a-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（a-1，1）上單調(diào)遞減，
②當(dāng)a-1=1，即a=2時(shí)，F(xiàn)′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≥0恒成立，
F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
③當(dāng)a-1＞1，即a＞2時(shí)，
F′（x），F(xiàn)（x）隨x的變化情況，

x	（0，1）	1	（1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
F′（x），	+	0	-	0	+
F（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由表可知F（x）在（0，1），（a-1，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，a-1）上單調(diào)遞減，
綜上可知：1＜a＜2，F(xiàn)（x）在（0，a-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（a-1，1）上單調(diào)遞減；
a=2時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
a＞2時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，1），（a-1，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，a-1）上單調(diào)遞減，
（II）證明：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=e^x（x+$\frac{1}{x}$），求導(dǎo)，f′（x）=e^x（x+$\frac{1}{x}$）+e^x（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）
=$\frac{{e}^{x}（{x}^{3}+{x}^{2}+x-1）}{{x}^{2}}$，
令h（x）=x³+x²+x-1，（x＞0），求導(dǎo)，h′（x）=3x²+2x-1=3（x+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，
h（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
由h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{8}$＜0，h（1）=2＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀∈（$\frac{1}{2}$，1），
當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜0，f′（x）=$\frac{{e}^{x}h（x）}{{x}^{2}}$＜0，
當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0，f′（x）=$\frac{{e}^{x}h（x）}{{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）在（0，x₀）上是減函數(shù)，在（x₀，+∞），
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥${e}^{{x}_{0}}$（x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$）＞${e}^{\frac{1}{2}}$（x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$）＞2$\sqrt{e}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，函數(shù)零點(diǎn)的判斷，考察從放縮法證明不等式成立，考查計(jì)算能力，屬于難題．