Question

13．當(dāng)a＞b＞0時(shí)，用比較法證明a^ab^b＞${（ab）}^{\frac{a+b}{2}}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用作商比較法，結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得證．

解答 證明：當(dāng)a＞b＞0時(shí)，
$\frac{{a}^{a}^}{（ab）^{\frac{a+b}{2}}}$=a${\;}^{a-\frac{a+b}{2}}$•b${\;}^{b-\frac{a+b}{2}}$
=a${\;}^{\frac{a-b}{2}}$•b${\;}^{\frac{b-a}{2}}$=（$\frac{a}$）${\;}^{\frac{a-b}{2}}$，
由a-b＞0，$\frac{a}$＞1，
可得（$\frac{a}$）${\;}^{\frac{a-b}{2}}$＞（$\frac{a}$）⁰=1，
則a^ab^b＞${（ab）}^{\frac{a+b}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用作商比較法，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查推理能力，屬于中檔題．