Question

已知函數(shù)f(x)=

a(x-1)2+1

x+b-1

的圖象過點(diǎn)（2，2），它向左平移1個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱．
（1）求f（x）的表達(dá)式；        （2）求函數(shù)f（x） 的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=2可得a=2b+2=1，由g（x）=f（x+1）=

ax2+1

x+b

得圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱．可得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，則g（-x）=-g（x），可求b，進(jìn)而可求a，及函數(shù)的解析式
（2）由f(x)=

(x-1)2+1

x-1

，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

解答：解：（1）由題意可得，f(2)=

a+1

1+b

=2
∴a+1=2（1+b）即a=2b+1
函數(shù)f（x）向左平移1個(gè)單位后所得的函數(shù)g（x）=f（x+1）=

ax2+1

x+b

得圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱．
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，則g（-x）=-g（x）
∴

a(-x)2+1

-x+b

=-

ax2+1

x+b

即-x+b=-x-b
∴b=0，a=1
∴f(x)=

(x-1)2+1

x-1

 
（2）∵f(x)=

(x-1)2+1

x-1

=

x2-2x+2

x-1

∴f′(x)=

(2x-2)(x-1)-(x2-2x+2)

(x-1)2

=

x(x-2)

(x-1)2

當(dāng)x＞2或x＜0時(shí)，f′（x）＞0函數(shù)單調(diào)遞增
當(dāng)0＜x＜2且x≠1時(shí)，f′（x）＜0函數(shù)單調(diào)遞減
∴函數(shù)的增區(qū)間為（2，+∞），（-∞，0）；減區(qū)間為（1，2），（0，1）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象平移法則的應(yīng)用，函數(shù)的解析式的解析式的求解，對號(hào)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．