Question

某個集團公司下屬的甲、乙兩個企業(yè)在2012年1月的產值都為a萬元，甲企業(yè)每個月的產值與前一個月相比增加的產值相等，乙企業(yè)每個月的產值與前一個月相比增加的百分數相等，到2013年1月兩個企業(yè)的產值再次相等．
（1）試比較2012年7月甲、乙兩個企業(yè)產值的大小，并說明理由；
（2）甲企業(yè)為了提高產能，決定投入3.2萬元買臺儀器，并且從2013年2月1日起投入使用．從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費為

n+49

10

元（n∈N^*），求前n天這臺儀器的日平均耗費（含儀器的購置費），并求日平均耗資最小時使用的天數？

Answer 1

分析：（1）設從2012年1月到2013年1月甲企業(yè)每個月的產值分別為a₁，a₂，a₃，…，a₁₃，乙企業(yè)每個月的產值分別為b₁，b₂，…，b₁₃，根據題意可以確定{a_n}成等差數列，{b_n}成等比數列，利用等差中項和等比中項求出a₇和b₇，利用基本不等式即可比較大小，從而得到答案；
（2）設一共使用了n天，則根據題意列出n天的平均耗資的表達式，利用等差數列求和，和基本不等式，即可求得使用800天，平均耗資最�。�

解答：解：（1）設從2012年1月到2013年1月甲企業(yè)每個月的產值分別為a₁，a₂，a₃，…，a₁₃，
乙企業(yè)每個月的產值分別為b₁，b₂，…，b₁₃，
∵甲企業(yè)每個月的產值與前一個月相比增加的產值相等，
∴{a_n}成等差數列，
∵乙企業(yè)每個月的產值與前一個月相比增加的百分數相等，
∴{b_n}成等比數列，
根據等差數列的等差中項和等比數列的等比中項，
∴a7=

1

2

(a1+a13)，b7=

b1•b13

，
∵a₁=b₁，a₁₃=b₁₃，
∴a7=

1

2

(a1+a13)＞

a1•a13

=

b1•b13

=b7，即a₇＞b₇，
∴到7月份甲企業(yè)的產值比乙企業(yè)的產值要大；
（2）設一共使用了n天，n天的平均耗資為P（n），
∴P(n)=

32000+( 1+49 10 + 2+49 10 + 3+49 10 +…+ n+49 10 )

n

=

32000+ 49n 10 + n(n+1) 20

n

=

32000

n

+

n

20

+

99

20

≥2

32000 n × n 20

+

99

20

=

1699

20

，
當且僅當

32000

n

=

n

20

，即n=800時，P（n）取得最小值，
∴日平均耗資最小時使用了800天．

點評：本題主要考查了根據實際問題建立數學模型，解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．本題同時考查了數列的應用，涉及等差數列以及等比數列的性質，等差數列求和，涉及基本不等式的應用．是一道綜合性的題目．屬于難題．