Question

已知函數(shù)，其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得，
∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0．
①當(dāng)a≥2時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
②當(dāng)0＜a＜2時(shí)，由f'（x）＞0解得，由f'（x）＜0解得x＜，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．
（Ⅱ）當(dāng)a≥2，由（Ⅰ）①知，f（x）的最小值為f（0）=1；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，由（Ⅰ）②知，f（x）在處取得最小值＜f（0）=1，
綜上可知，若f（x）的最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞）．
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得，由于分母恒正，故由分子的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的討論，分別可求得f（x）的最小值，根據(jù)f（x）的最小值為1，可確定a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，合理分類是關(guān)鍵．