Question

已知二次函數(shù)g（x）對任意實數(shù)x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．
（1）求g（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)1＜m≤e，H（x）=g（x+）+mlnx-（m+1）x+，求證：H（x）在[1，m]上為減函數(shù)；
（3）在（2）的條件下，證明：對任意x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

Answer 1

解：（1）設(shè)g（x）=ax²+bx+c
于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2
所以
又g（1）=-1
所以b=
所以
（2）
因為對?x∈[1，m]，

故H（x）在[1，m]上為減函數(shù)
（3）由（2）得：H（x）在[1，m]上為減函數(shù)則：
|H（x₁）-H（x₂）|＜1??
記，
則
所以是單調(diào)增函數(shù)，

所以，故命題成立
分析：（1）設(shè)出二次函數(shù)g（x），將已知條件代入g（x）的解析式，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程，解方程求出各個系數(shù)，得到g（x）的解析式．
（2）將（1）中g(shù)（x）的解析式代入H（x），求出H（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)自變量的范圍，判斷出H（x）的導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，得證．
（3）利用（2），H（x）的單調(diào)性，將要證的不等式化為關(guān)于m的不等式恒成立，構(gòu)造新函數(shù)h（x），求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得到h（x）的單調(diào)性，求出h（x）的最大值，得到要證的不等式．
點評：求函數(shù)模型已知的函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法求；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)大于0，對應(yīng)的是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0對應(yīng)的是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；解決不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．