Question

已知函數(shù)f（x）=ln（ax²+2x+1），g（x）=log

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（x²-4x-5）．
（1）若f（x）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）若f（x）的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍．
（3）求函數(shù)g（x）的遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）的定義域為R，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求實數(shù)a的取值范圍．
（2）根據(jù)f（x）的值域為R，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求實數(shù)a的取值范圍．
（3）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）若f（x）的定義域為R，則y=ax²+2x+1的圖象恒在x軸的上方，
∴

a＞0 △=4-4a＜0

，解得a＞1．
（2）若f（x）的值域為R，則y=ax²+2x+1的圖象一定要與x軸有交點(diǎn)，
∴a=0或

a＞0 △=4-4a≥0

，
解得a=0或0＜a≤1，
綜上0≤a≤1．
（3）由x²-4x-5＞0，解得x＜-1或x＞5，即g（x）的定義域為{x|x＜-1或x＞5}，
設(shè)t=x²-4x-5，則y=）=log

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t為減函數(shù)，
則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可得要求函數(shù)g（x）的遞減區(qū)間即求函數(shù)x²-4x-5的增區(qū)間，
即g（x）的減區(qū)間為（5，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．