Question

【題目】已知函數(shù)對(duì)于任意的，都有，當(dāng)時(shí)，，且．

（1）求，的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；

（3）設(shè)函數(shù)，判斷函數(shù)g(x) 最多有幾個(gè)零點(diǎn)，并求出此時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）當(dāng) 時(shí)，函數(shù)最多有4個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（1）觀察表達(dá)式可知函數(shù)為抽象函數(shù)，可給賦具體值，令和即可求得；

（2）可先求證函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合時(shí)，，證明函數(shù)為減函數(shù)，再采用賦值法和函數(shù)單調(diào)性即可求解最值；

（3）令代入，可證函數(shù)為奇函數(shù)，化簡(jiǎn)得，再結(jié)合奇偶性和增減性即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和參數(shù)取值范圍

（1）令得，得.

令，，得，解得．

(2)任取且，則，

因?yàn)?/span>，即，

令 則.

由已知時(shí)，且，則，

所以 ，，

所以函數(shù)在R上是減函數(shù)，

故在單調(diào)遞減.

所以，

因?yàn)?/span>，

，

故，.

(3) 令代入，

得，

所以，故為奇函數(shù).

∴

=

=

，

令，即

因?yàn)楹瘮?shù)在R上是減函數(shù)，

所以，即，

所以當(dāng) 時(shí)，函數(shù)最多有4個(gè)零點(diǎn).