Question

某單位舉行一次全體職工的象棋比賽（實(shí)行三局兩勝制），甲、乙兩人進(jìn)入決賽．已知甲、乙兩人平時(shí)進(jìn)行過多次對(duì)弈，其中記錄了30局的對(duì)弈結(jié)果如右表：

	甲先	乙先
甲勝	10	9
乙勝	5	6

根據(jù)表中的信息，預(yù)測(cè)在下列條件下的比賽結(jié)果：
（1）在比賽時(shí)由擲硬幣的方式?jīng)Q定誰先，試求甲在第一局獲勝的概率；
（2）若第一局由乙先，以后每局由負(fù)者先．
①求甲以二比一獲勝的概率；
②若勝一局得2分，負(fù)一局得0分，用ξ表示甲在這場比賽中所得的分?jǐn)?shù)，試求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由已知表格中的信息求出甲先或乙先的甲乙獲勝的概率，然后根據(jù)甲先的概率為

1

2

分別求出甲先或乙先甲在第一局獲勝的概率，作和后得答案；
（2）①甲以二比一獲勝，包括甲勝第一局和第三局或甲勝第二局和第三局，分別求出這兩種情況下的概率作和得答案；
②由題意可得ξ的取值，求出每種情況的概率，然后列出分布列，代入期望公式得答案．

解答： 解：根據(jù)表格信息可知，若甲先，則甲獲勝的概率為

2

3

，乙獲勝的概率為

1

3

，
若乙先，則甲獲勝的概率為

3

5

，乙獲勝的概率為

2

5

．
（1）甲在第一局獲勝的概率為：P1=

1

2

×

2

3

+

1

2

×

3

5

=

19

30

；
（2）①若甲以二比一獲勝，則甲勝第一局和第三局或甲勝第二局和第三局．
∴甲以二比一獲勝的概率為：P2=

3

5

×

2

5

×

2

3

+

2

5

×

2

3

×

3

5

=

8

25

；
②由題意可知：ξ的取值為0，2，4．
則P（ξ=0）=

2

5

×

1

3

=

2

15

．
P（ξ=2）=

3

5

×

2

5

×

1

3

+

2

5

×

2

3

×

2

5

=

14

75

．
P（ξ=4）=

3

5

×

3

5

+

8

25

=

17

25

．
隨機(jī)變量ξ的分布列如圖：

ξ	0	2	4
P	2 15	14 75	17 25

∴E（ξ）=0×

2

15

+2×

14

75

+4×

17

25

=

232

75

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及其概率公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，訓(xùn)練了離散型隨機(jī)變量的期望的求法，是中檔題．