Question

已知函數(shù)f（x）=mx-m-2lnx（m∈R）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，證明：當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，

f(x2)-f(x1)

2

＞（1-

1

x1

）（x₂-x₁）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）根據(jù)若f（x）≥0恒成立，討論m的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

mx-2

x

，
若m≤0，則f′（x）=

mx-2

x

＜0，此時(shí)函數(shù)在（0，+∞）上遞減，
若m＞0，則由f′（x）＞0，解得x＞

2

m

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，解得0＜x＜

2

m

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
故當(dāng)m≤0，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)m＞0，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

2

m

），單調(diào)遞增區(qū)間為（

2

m

，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m≤0，則f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞減，
∵f（1）=0，∴f（x）≥0不恒成立，
若m＞2，當(dāng)x∈（

2

m

，1）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，f（x）＜f（1）=0，不合題意，
若0＜m＜2，當(dāng)x∈（1，

2

m

）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，f（x）＜f（1）=0，不合題意，
若m=2，當(dāng)x∈（0，1）上單調(diào)遞減，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，f（x）≥f（1）=0，符合題意，
故m=2時(shí)，且lnx≤x-1，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號），
當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，f（x₂）-f（x₁）=2[（x₂-x₁）-ln

x2

x1

]，
∵ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1，∴f（x₂）-f（x₁）=2[（x₂-x₁）-ln

x2

x1

]＞2[（x₂-x₁）-（

x2

x1

-1）]
=2（x₂-x₁）（1-

1

x1

），
因此

f(x2)-f(x1)

2

＞(1-

1

x1

)(x2-x1)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及函數(shù)最值的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．