Question

（1）已知數列{c_n}，其中c_n=2ⁿ+3ⁿ，且數列{c_n+1-pc_n}為等比數列，求常數p；
（2）設{a_n}、{b_n}是公比不相等的兩個等比數列，c_n=a_n+b_n，證明數列{c_n}不是等比數列．

Answer 1

解：（1）因為{c_n+1-pc_n}是等比數列，故有
（c_n+1-pc_n）²=（c_n+2-pc_n+1）（c_n-pc_n-1），
將c_n=2ⁿ+3ⁿ代入上式，得
[2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹-p（2ⁿ+3ⁿ）]²
=[2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²-p（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）]•[2ⁿ+3ⁿ-p（2^n-1+3^n-1）]，
即[（2-p）2ⁿ+（3-p）3ⁿ]²
=[（2-p）2ⁿ⁺¹+（3-p）3ⁿ⁺¹][（2-p）2^n-1+（3-p）3^n-1]，
整理得（2-p）（3-p）•2ⁿ•3ⁿ=0，
解得p=2或p=3．
（2）設{a_n}、{b_n}的公比分別為p、q，p≠q，c_n=a_n+b_n．
為證{c_n}不是等比數列只需證c₂²≠c₁•c₃．
事實上，c₂²=（a₁p+b₁q）²=a₁²p²+b₁²q²+2a₁b₁pq，
c₁•c₃=（a₁+b₁）（a₁p²+b₁q²）=a₁²p²+b₁²q²+a₁b₁（p²+q²）．
由于p≠q，p²+q²＞2pq，又a₁、b₁不為零，
因此c₂²≠c₁•c₃，故{c_n}不是等比數列．
分析：（1）利用等比中項的性質可推斷出（c_n+1-pc_n）²=（c_n+2-pc_n+1）（c_n-pc_n-1），整理后求得p的值．
（2）設{a_n}、{b_n}的公比分別為p、q，為證{c_n}不是等比數列只需證c₂²≠c₁•c₃．利用等比數列的通項公式分別表示出a_n和b_n，表示出c₂²的表達式，整理由于p≠q，推斷出p²+q²＞2pq，進而推斷出c₂²≠c₁•c₃，進而可知{c_n}不是等比數列．
點評：本小題主要考查等比數列的概念和基本性質，推理和運算能力．