Question

5．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且acosC+$\frac{1}{2}$c=b．
（1）求A的大小；
（2）若a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理將原式轉(zhuǎn)化成sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB，利用三角形的內(nèi)角和為π及兩角和的正弦求得cosA的值，根據(jù)A的取值范圍，即可求得A的大��；
（2）由正弦定理及（1）可知：b=sinB，c=sinC，將b+c轉(zhuǎn)化成$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)及B的取值范圍，即可求得b+c的取值范圍．

解答 解：（1）∵cosC+$\frac{1}{2}$c=b．
根據(jù)正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB，
在三角形中：A+B+C=π，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinAcosC+cosAsinC，
$\frac{1}{2}$sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
A=$\frac{π}{3}$；
（2）由正弦定理可知：$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin\frac{π}{3}}$=1，
∴b=sinB，c=sinC，
∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜b+c≤$\sqrt{3}$，
∴b+c的取值范圍．（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理及三角恒等變形相結(jié)合，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．