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5.設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且acosC+12c=b.
(1)求A的大小;
(2)若a=32,求b+c的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)正弦定理將原式轉(zhuǎn)化成sinAcosC+12sinC=sinB,利用三角形的內(nèi)角和為π及兩角和的正弦求得cosA的值,根據(jù)A的取值范圍,即可求得A的大��;
(2)由正弦定理及(1)可知:b=sinB,c=sinC,將b+c轉(zhuǎn)化成3sin(B+\frac{π}{6}),根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)及B的取值范圍,即可求得b+c的取值范圍.

解答 解:(1)∵cosC+\frac{1}{2}c=b.
根據(jù)正弦定理\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R,
∴sinAcosC+\frac{1}{2}sinC=sinB,
在三角形中:A+B+C=π,
sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∴sinAcosC+\frac{1}{2}sinC=sinAcosC+cosAsinC,
\frac{1}{2}sinC=cosAsinC,
∵sinC≠0,
∴cosA=\frac{1}{2},
∵0<A<π,
A=\frac{π}{3};
(2)由正弦定理可知:\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin\frac{π}{3}}=1,
∴b=sinB,c=sinC,
∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin(\frac{2π}{3}-B)=\sqrt{3}sin(B+\frac{π}{6}),
∵0<B<\frac{2π}{3},
\frac{π}{6}<B+\frac{π}{6}\frac{5π}{6},
\frac{1}{2}<sin(B+\frac{π}{6})≤1
\frac{\sqrt{3}}{2}<b+c≤\sqrt{3},
∴b+c的取值范圍.(\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}].

點(diǎn)評 本題考查正弦定理及三角恒等變形相結(jié)合,考查正弦函數(shù)的性質(zhì),考查綜合分析問題及解決問題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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15.某空間幾何體的正視圖、俯視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( �。�
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16.若(1-i)2=|1+i|2z(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的和為( �。�
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13.設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,若a2,S3,a2+S5成等比數(shù)列,則\frac8u8e8ie{{a}_{1}}=(  )
A.0B.\frac{3}{2}C.\frac{2}{3}D.1

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20.如圖所示,要圍建一個(gè)面積為400m2的矩形場地,要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻時(shí)需要維修),其他三面圍墻要新建,在舊墻對面的新墻上要留一個(gè)寬度為3m的進(jìn)出口,已知舊墻的維修費(fèi)用為56元/m,新墻的造價(jià)為200元/m,設(shè)利用舊墻的長度為x(單位:m),修建此矩形場地的總費(fèi)用為y(單位:元).
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)試確定x的值,使修建此矩形場地的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用.

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10.通過隨機(jī)詢問多名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動,建立列聯(lián)表后,由K2=\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}算得:K2=7.8,附表如下:
P(K2≥K)0.0500.0100.001
K3.8416.63510.828
參照附表:得到的正確結(jié)論是(  )
A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”
B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”
C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”
D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”

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17.已知x,y,z均大于1,a≠0,logza=24,logya=40,log(x•y•z)a=12,求logxa.

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5.i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)\frac{3+i}{1-i}的虛部為( �。�
A.1+2iB.2C.2iD.-2i

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