Question

（2010•通州區(qū)一模）設(shè)不等式組

-2≤x≤2 0≤y≤2

確定的平面區(qū)域為U，

x-y+2≥0 x+y-2≤0 y≥0

確定的平面區(qū)域為V．
（I）定義坐標為整數(shù)的點為“整點”．在區(qū)域U內(nèi)任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率；
（II）在區(qū)域U內(nèi)任取3個點，記此3個點在區(qū)域V的個數(shù)為X，求X的概率分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，畫出區(qū)域U與V，可得其中整點的個數(shù)，進而由古典概型公式，計算可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，易得區(qū)域U的面積為8，區(qū)域V的面積為4，進而可得在區(qū)域U內(nèi)任取一點，該點在區(qū)域V內(nèi)的概率，依題意可得X的取值為0，1，2，3；由n次獨立重復(fù)試驗中恰有k次發(fā)生的概率公式，可得X為0，1，2，3的概率，可得X的分布列，進而由期望公式，計算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意，區(qū)域U內(nèi)共有15個整點，區(qū)域V內(nèi)共有9個整點，
設(shè)所取3個整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率為P（v），
則P（v）=

C 2 9 C 1 6

C 3 15

=

216

455

．          
（Ⅱ）區(qū)域U的面積為8，區(qū)域V的面積為4，
∴在區(qū)域U內(nèi)任取一點，該點在區(qū)域V內(nèi)的概率為

4

8

=

1

2

．                         
則X的取值為0，1，2，3，
P（X=0）=C₃⁰（

1

2

）⁰（

1

2

）³=

1

8

，
P（X=1）=C₃¹（

1

2

）¹（

1

2

）²=

3

8

，
P（X=0）=C₃²（

1

2

）²（

1

2

）¹=

3

8

，
P（X=3）=C₃³（

1

2

）³（

1

2

）⁰=

1

8

，
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P（X）	1 8	3 8	3 8	1 8

E（X）=0×

1

8

+1×

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

點評：本題考查排列組合的運用、離散型變量的期望與方差的計算，解題時注意（Ⅰ）涉及整點，是古典概型；（Ⅱ）利用面積，是幾何概型．