Question

（理）已知數(shù){a_n}，其中a₁=1，a_n=a_n-1.3^n-1（n≥2，且n∈N），數(shù)列{bn}的前n項和Sn=log3(

an

9n

）（n∈N）
（Ⅰ）求數(shù)列{ b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{|b_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）因為a_n=a_n-1.3^n-1（n≥2，且n∈N），兩邊取對數(shù)得到log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1），利用逐差求和的方法求出log₃a_n，代入已知條件求出S_n，進一步求出數(shù)列{ b_n}的通項公式；
（II）通過數(shù)列的通項，判斷出從哪一項是正項，然后對n分類討論求出數(shù)列{|b_n|}的前n項和T_n．

解答：解：（I）∵log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1）

∴log3an-

log3a1=1+2+3+…+(n-1)=

n(n-1)

2

∴log3an=

n(n-1)

2

Sn=log3

(

an

9n

)=

n2-5n

2

(n∈N)…(4分)
∴b1=S1=-2.

當(dāng)n≥2時bn=Sn-Sn-1=n-3

∴數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=n-3（n∈N）（2分）
（II）當(dāng)b_n=n-3≤0，
即n≤3時T_n=-S_n=

5n-n2

2

；（2分） 
當(dāng)b_n=n-3＞0，即n＞3時，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+|b₄|+…+|b_n|=（b₁+b₂+b₃+…+b_n）-2（b₁+b₂+b₃）
=Sn-2S3=

n2-5n+12

2

，…(3分)
綜上所述T_n=

5n-n2 2 (n≤3，且n∈N) n2-5n+12 2 (n＞3，且n∈N).

（1分）

點評：求一個數(shù)列的前n項和，應(yīng)該先求出數(shù)列的通項，然后根據(jù)通項的特點選擇合適的求和方法．