已知⊙C:x2+y2=16,直線l:mx-y+2-2m=0
(1)求證:對m∈R,直線l與⊙C總有兩個不同的交點;
(2)求直線l與圓⊙C相交所得弦長為整數(shù)的弦的條數(shù).
分析:(1)有直線的方程可得直線L過定點M,而點M在圓C的內(nèi)部,從而可得直線L與圓C必相交兩個不同的點.
(2)由于當(dāng)弦長最短時,MC和直線l垂直,求出AB,直線經(jīng)過圓的圓心時弦長最大,然后判斷所得弦長為整數(shù)的弦的條數(shù).
解答:解:(1)∵直線l:mx-y+2-2m=0,即(x-3)m-y+2=0,
x-2=0
y+2=0
,∴
x=2
y=2
,它的圖象經(jīng)過定點M(2,2),而22+22=8<16,所以,點M(2,2)在圓C內(nèi),
所以:直線l與⊙C總有兩個不同的交點.
(2)由直線l經(jīng)過⊙C的圓心時,弦長AB取得最大值:8,此時m=1,
當(dāng)直線l⊥MC時,弦長AB取得最小值,MC=2
2
,∴AB=2
16-8
=4
2
,
此時m=-1,.
綜上有:4
2
≤|AB|≤8
,弦長為整數(shù)的值為:6,7,8而AB=8時只有1條,
直線l與圓⊙C相交所得弦長為整數(shù)的弦的有5條.
點評:本題主要考查直線過定點問題,直線和圓的位置關(guān)系,直線與相交的弦長問題,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知⊙C:x2+y2=1,點A(-2,0)和點B(2,a),從點A觀察點B,要使視線不被⊙C擋住,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A、(-∞,-2)∪(2,+∞)
B、(-∞,-
2
3
3
)∪(
2
3
3
,+∞)
C、(-∞,-
4
3
3
)∪(
4
3
3
,+∞)
D、(-
4
3
3
,
4
3
3
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知⊙C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,則F=E=0且D<0是⊙C與y軸相切于原點的( 。
A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知C:x2+y2+2x-4y+3=0.圓C外有一動點P,點P到圓C的切線長等于它到原點O的距離,
(1)求點P的軌跡方程.
(2)當(dāng)點P到圓C的切線長最小時,切點為M,求∠MPC的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知⊙C:x2+y2+2x-4y+1=0.
(1)若⊙C的切線在x軸、y軸上截距相等,求切線的方程.
(2)從圓外一點P(x0,y0)向圓引切線PM,M為切點,O為原點,若|PM|=|PO|,求使|PM|最小的P點坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知⊙C:x2+y2-2x-2y+1=0,直線l與⊙C相切且分別交x軸、y軸正向于A、B兩點,O為坐標(biāo)原點,且|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2).
(Ⅰ)求線段AB中點的軌跡方程;
(Ⅱ)求△ABC面積的極小值.

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