Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+x﹣ln（x+a）+3b在x=0處取得極值0． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）= x+m在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題設(shè)可知 ， ∵當(dāng)x=0時，f（x）取得極值0，
∴ 解得a=1，b=0；
經(jīng)檢驗(yàn)a=1，b=0符合題意；
（Ⅱ）由（1）知f（x）=x2+x﹣ln（x+1），
則方程 即為 ，
令 ，
則方程φ（x）=0在區(qū)間[0，2]恰有兩個不同實(shí)數(shù)根．
∵ ；
當(dāng)x∈（0，1）時，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，2）時，φ′（x）＞0，于是φ（x）在（1，2）上單調(diào)遞增；
依題意有 ，
∴﹣ ﹣ln2＜m≤1﹣ln3
【解析】（Ⅰ）求導(dǎo) ，從而由題意得 ，從而解得；（Ⅱ）由（1）知f（x）=x2+x﹣ln（x+1），故方程 可化為 ，令 ，從而求導(dǎo) ；從而根據(jù)單調(diào)性求解．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．