Question

數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=3，前四項(xiàng)和S₄=16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記Tn=

1

a 1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，計(jì)算T₂₀₁₁．

Answer 1

分析：（1）由a₂和S₄的值，分別利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式得到關(guān)于a₁和d的方程組，求出方程組的解得到a₁和d的值，寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可；
（2）把a(bǔ)_n的通項(xiàng)公式代入

1

anan+1

，利用拆項(xiàng)的方法化簡(jiǎn)后，列舉出T₂₀₁₁的各項(xiàng)，抵消化簡(jiǎn)后即可求出值．

解答：解：（1）由a₂=3，S₄=16，根據(jù)題意得：

a1+d=3① 4a1+6d=16②

，解得：

a1=1 d=2

，
則a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T₂₀₁₁=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

a2011a2012

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

2009×2011

+

1

2011×2013

+…+

1

4021×4023

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2011

-

1

2013

+…+

1

4021

-

1

4023

）
=

1

2

（1-

1

4023

）
=

2011

4023

．

點(diǎn)評(píng)：此題要求學(xué)生熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式．第2問(wèn)數(shù)列求和的方法是：把a(bǔ)_n的通項(xiàng)公式代入后，利用拆項(xiàng)的方法得

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），列舉出各項(xiàng)，抵消可得值．