Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁，且E是BC中點(diǎn)．
（I）求證：A₁B∥平面AEC₁；
（Ⅱ）求證：B₁C⊥平面AEC₁．

Answer 1

分析：對（I），根據(jù)三角形的中位線平行于底邊，在平面內(nèi)作平行線，再由線線平行⇒線面平行．
對（II），根據(jù)直棱柱的性質(zhì)，側(cè)棱與側(cè)面都與底面垂直，可證平面內(nèi)的AE與B₁C垂直；
利用平面幾何與三角函數(shù)知識，證C₁E與B₁C垂直；再由線線垂直⇒線面垂直．

解答：證明：（I） 連接A₁C交AC₁于點(diǎn)O，連接EO
∵ACC₁A₁為正方形，∴O為中點(diǎn)
∴EO∥A₁B，EO?平面AEC₁，A₁B?平面AEC₁，
∴A₁B∥平面AEC₁．
（Ⅱ）∵AB=AC，E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AE⊥平面BB₁C₁C，B₁C?平面BB₁C₁C，
∴B₁C⊥AE
在矩形BCC₁B₁中，tan∠CB₁C₁=tan∠EC₁C=

2

2

，
∵∠CB₁C₁+∠B₁CC₁=

π

2

∴∠B₁CC₁+∠EC₁C═

π

2

，
∴B₁C⊥EC₁，
又AE∩EC₁=E，
∴B₁C⊥平面AEC₁

點(diǎn)評：本題考查線面垂直的判定、線面平行的判定．證明（I）也可由面面平行證線面平行，即取B₁C₁的中點(diǎn)F，證平面BFA₁∥平面AEC₁．在證明（II）時，利用三角函數(shù)知識與平面幾何知識證線線垂直也是常用方法．