Question

下列函數(shù)為偶函數(shù)，且在（-∞，0）上單調(diào)遞增的函數(shù)是

 

．
①f(x)=x

2

3

；②f（x）=x^-3；③f(x)=(

1

2

)|x|；④f（x）=|lgx|

Answer 1

分析：首先求出四個函數(shù)的定義域，由定義與判斷④是非奇非偶函數(shù)，然后由奇偶性定義判斷②是定義域上的奇函數(shù)，最后根據(jù)偶函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性說明①不正確，只有③符合是偶函數(shù)，且由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判出其在（-∞，0）上單調(diào)遞增，所以答案可求．

解答：解：函數(shù)f（x）=x

2

3

的定義域是R，且在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又f（-x）=(-x)

2

3

=x

2

3

=f（x），所以函數(shù)f（x）=x

2

3

是定義域上的偶函數(shù)，
由偶函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性，則在（-∞，0）上是減函數(shù)．
所以①不正確；  
函數(shù)f（x）=x^-3的定義域是{x|x≠0}，且f（-x）=（-x）^-3=-x^-3=-f（x），
所以，函數(shù)f（x）=x^-3是定義域上的奇函數(shù)．
所以②不正確；
函數(shù)f(x)=(

1

2

)|x|的定義域為R，內(nèi)層函數(shù)t=g（x）=|x|在（-∞，0）上為減函數(shù)，
外層函數(shù)y=(

1

2

)t為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)=(

1

2

)|x|在（-∞，0）上為增函數(shù)，
又f(-x)=(

1

2

)|-x|=(

1

2

)|x|=f(x)，所以函數(shù)f(x)=(

1

2

)|x|是定義域上的偶函數(shù)．
所以③正確；
函數(shù)f（x）=|lgx|的定義域為（0，+∞），所以該函數(shù)在定義域上為非奇非偶函數(shù)．
所以④不正確．
故答案為③．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循同增異減原則，是中檔題．