Question

7．已知函數(shù)$f（x）=ln（1+x）-x+\frac{k}{2}{x^2}（k≥0）$．
（Ⅰ）當k=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當k≠1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當k=0時，若x＞-1，證明：$ln（x+1）≥1-\frac{1}{x+1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）令$g（x）=ln（x+1）+\frac{1}{x+1}-1$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）當k=0時，f（x）=ln（1+x）-x，則f（1）=ln2-1
所以$f'（x）=\frac{1}{1+x}-1$，則$f'（1）=-\frac{1}{2}$…（2分）
所以y-f（1）=f'（1）（x-1），即x+2y-2ln2+1=0…（4分）
（Ⅱ）由已知x＞-1，$f'（x）=\frac{1}{1+x}-1+kx$，即$f'（x）=\frac{x（kx+k-1）}{1+x}$，
當k=0時，$f'（x）=\frac{1}{1+x}-1=-\frac{x}{1+x}$，因為x＞-1
所以在（-1，0）上增，在（0，+∞）上減…（5分）
當0＜k＜1時，由$f'（x）=\frac{x（kx+k-1）}{1+x}=0$，得x₁=0，${x_2}=\frac{1-k}{k}＞0$
所以在（-1，0）和$（\frac{1-k}{k}，+∞）$上f'（x）＞0；在$（0，\frac{1-k}{k}）$上f'（x）＜0
故f（x）在（-1，0）和$（\frac{1-k}{k}，+∞）$單調(diào)遞增，在$（0，\frac{1-k}{k}）$單調(diào)遞減…（7分）
當k＞1時，$f'（x）=\frac{x（kx+k-1）}{1+x}=0$，得${x_1}=\frac{1-k}{k}∈（-1，0）$，x₂=0．
所以在$（-1，\frac{1-k}{k}）$和（0，+∞）上f'（x）＞0；在$（\frac{1-k}{k}，0）$上f'（x）＜0
故f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是$（-1，\frac{1-k}{k}）$和（0，+∞），減區(qū)間是$（\frac{1-k}{k}，0）$…（9分）
（Ⅲ）令$g（x）=ln（x+1）+\frac{1}{x+1}-1$，則$g'（x）=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}$=$\frac{x}{{{{（x+1）}^2}}}$．…（11分）
所以 當x∈（-1，0）時，g'（x）＜0，當x∈（0，+∞）時，g'（x）＞0．
所以 當x＞-1時，g（x）≥g（0），即 $ln（x+1）+\frac{1}{x+1}-1$≥0
所以 $ln（x+1）≥1-\frac{1}{x+1}$．…（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．