Question

20．已知{a_n}為等差數列，前n項和為S_n（n∈N^*），{b_n}是首項為2的等比數列，且公比大于0，b₂+b₃=12，b₃=a₄-2a₁，S₁₁=11b₄．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{a_2nb_n}的前n項和（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q．通過b₂+b₃=12，求出q，得到${b_n}={2^n}$．然后求出公差d，推出a_n=3n-2．
（Ⅱ）設數列{a_2nb_n}的前n項和為T_n，利用錯位相減法，轉化求解數列{a_2nb_n}的前n項和即可．

解答 （Ⅰ）解：設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q．由已知b₂+b₃=12，得${b_1}（q+{q^2}）=12$，而b₁=2，所以q²+q-6=0．又因為q＞0，解得q=2．所以，${b_n}={2^n}$．
由b₃=a₄-2a₁，可得3d-a₁=8．
由S₁₁=11b₄，可得a₁+5d=16，聯(lián)立①②，解得a₁=1，d=3，
由此可得a_n=3n-2．
所以，{a_n}的通項公式為a_n=3n-2，{b_n}的通項公式為${b_n}={2^n}$．
（Ⅱ）解：設數列{a_2nb_n}的前n項和為T_n，由a_2n=6n-2，有${T_n}=4×2+10×{2^2}+16×{2^3}+…+（6n-2）×{2^n}$，$2{T_n}=4×{2^2}+10×{2^3}+16×{2^4}+…+（6n-8）×{2^n}+（6n-2）×{2^{n+1}}$，
上述兩式相減，得$-{T_n}=4×2+6×{2^2}+6×{2^3}+…+6×{2^n}-（6n-2）×{2^{n+1}}$=$\frac{{12×（1-{2^n}）}}{1-2}-4-（6n-2）×{2^{n+1}}=-（3n-4）{2^{n+2}}-16$．
得${T_n}=（3n-4）{2^{n+2}}+16$．
所以，數列{a_2nb_n}的前n項和為（3n-4）2ⁿ⁺²+16．

點評 本題考查等差數列以及等比數列通項公式的求法，數列求和，考查轉化思想以及計算能力．