Question

已知橢圓

x2

8

+

y2

4

=1，過點P（1，1）作直線l與橢圓交于M、N兩點．
（1）若點P平分線段MN，試求直線l的方程；
（5）設(shè)與滿足（1）中條件的直線l平行的直線與橢圓交于A、B兩點，AP與橢圓交于點C，BP與橢圓交于點D，求證：CD∥AB．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），則有x_M+x_N=2，y_M+y_N=2，利用點差法，可得

yM-yN

xM-xN

=-

1

2

，從而可求直線l的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），且

AP

=λ1

PC

，

BP

=λ2

PD

，可得x3=

1+λ1-x1

λ1

，y3=

1+λ1-y1

λ1

，將點A、C的坐標(biāo)分別代入橢圓方程，化簡可得

1+λ1-2x1

8

+

1+λ1-2y1

4

=λ1-1，同理有

1+λ2-2x2

8

+

1+λ2-2y2

4

=λ2-1，由此可得λ₁=λ₂，故可證得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），則有x_M+x_N=2，y_M+y_N=2.

x 2 M

8

+

y 2 M

4

=1①

x 2 N

8

+

y 2 N

4

=1②
①-②化簡可得

(xM+xN)(xM-xN)

8

+

(yM+yN)(yM-yN)

4

=0
∴

yM-yN

xM-xN

=-

1

2

．
故直線l的方程為y-1=-

1

2

(x-1)，即x+2y-3=0．（5分）
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），且

AP

=λ1

PC

，

BP

=λ2

PD

∴1-x₁=λ₁（x₃-1），1-y₁=λ₁（y₃-1）
∴x3=

1+λ1-x1

λ1

，y3=

1+λ1-y1

λ1

將點A、C的坐標(biāo)分別代入橢圓方程：

x 2 1

8

+

y 2 1

4

=1①，

(1+λ1-x1)2

8 λ 2 1

+

(1+λ1-y1)2

4 λ 2 1

=1②
②×λ12-①，并約去1+λ₁得

1+λ1-2x1

8

+

1+λ1-2y1

4

=λ1-1③
同理有

1+λ2-2x2

8

+

1+λ2-2y2

4

=λ2-1④
④-③可得

λ2-λ1+2(x1-x2)

8

+

λ2-λ1+2(y1-y2)

4

=λ₂-λ₁
∵kAB=-

1

2

，∴

2(x1-x2)

8

+

2(y1-y2)

4

=0
∴

λ2-λ1

8

+

λ2-λ1

4

=λ2-λ1
即

5

8

(λ2-λ1)=0，即λ₁=λ₂，
所以CD∥AB．（12分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點差法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)點，利用點差法解題．