Question

已知兩定點，滿足條件的點P的軌跡是曲線E，過點（0，-1）的直線l與曲線E交于A，B兩點，且．
（1）求曲線E的方程；
（2）求直線l的方程；
（3）問：曲線E上是否存在點C，使（O為坐標(biāo)原點），若存在，則求出m的值和△ABC的面積S；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線的定義可知，曲線E是以為焦點的雙曲線的左支，由此能求出曲線E的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意建立方程組，得（1-k²）x²+2kx-2=0．由直線與雙曲線左支交于兩點A，B，得和====，能求出直線l的方程．
（3）設(shè)C（x，y），由，得x₁+x₂=mx，且y₁+y₂=my.，（m≠0）．又，，所以點．C到AB的距離為，由此能求出△ABC的面積．
解答：解：（1）由雙曲線的定義可知，曲線E是以為焦點的雙曲線的左支，
且，易知b=1，
故曲線E的方程為x²-y²=1（x≤-1）（3分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意建立方程組，消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0（4分）
又已知直線與雙曲線左支交于兩點A，B，有解得（6分）
又∵====
整理后得：28k⁴-55k²+25=0，得或
但
∴故直線l的方程為（8分）
（3）設(shè)C（x，y），由已知，得x₁+x₂=mx，且y₁+y₂=my
∴，（m≠0）（9分）
又，
∴點（10分）
將點C的坐標(biāo)代入曲線E的方程，得得m=±4，（11分）
但當(dāng)m=-4時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意，
∴m=4，C點的坐標(biāo)為
所以C到AB的距離為（12分）
∴△ABC的面積（13分）
點評：本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．