已知P是直線(xiàn)3x4y8=0上的動(dòng)點(diǎn),PA、PB是圓的兩條切線(xiàn),AB是切點(diǎn),C是圓心,那么四邊形PACB面積的最小值為____________

答案:略
解析:

 

將圓的一般方程配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心C(1,1),r=1.如圖所示.

解法一:從運(yùn)動(dòng)觀(guān)點(diǎn)看問(wèn)題

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線(xiàn)3x4y8=0向左上方或向右下方無(wú)窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí),直角三角形PAC的面積越來(lái)越大,從而也越來(lái)越大;當(dāng)P點(diǎn)從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí),變�。@然,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置,即CP⊥直線(xiàn)時(shí),應(yīng)有惟一的最小值.此時(shí),

從而,

解法二:利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則,由勾股定理及|AC|=1,得

=,從而

,

從而欲求的最小值,只須求|PA|的最小值,即定點(diǎn)C(1,1)與直線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的距離的平方的最小值,它也就是點(diǎn)C(1,1)到直線(xiàn)3x4y8=0距離的平方,這個(gè)最小值

解法三:利用函數(shù)的思想

將法二中中的y3x4y8=0中解出代入關(guān)于x的一元函數(shù),進(jìn)而用配方法求最值,也可得

 


提示:

首先要化簡(jiǎn)圓的方程,弄清圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系,然后可聯(lián)想平面幾何知識(shí),數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.或者考慮建立關(guān)于面積的目標(biāo)函數(shù)來(lái)求最值.

本題涉及直線(xiàn)與圓相切,利用數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化,等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想以及配方法等有機(jī)的組合.


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已知M是直線(xiàn)3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),MA、MB是圓P:(x-1)2+(y-1)2=4的兩條切線(xiàn),A、B為切點(diǎn),P為圓心,求
PE
PF
的最大值
-
4
9
-
4
9

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[  ]

A.

B.2

C.

D.4

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[  ]

A.

B.2

C.

D.4

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B.2
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