Question

16．已知函數(shù)f（x）=a^x+k•a^-x（0＜a＜1）為R上的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)性（不需要證明），并求使不等式f（4^x-m•2^x）+f（1-2^x）＜0恒成立的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的定義：對任意x∈R，f（-x）=-f（x），或性質(zhì)可得f（0）=0，由此求得k值．
（2）由0＜a＜1，f（x）在R上單調(diào)遞減，不等式化為f（4^x-m•2^x）＜-f（1-2^x），運用f（x）的奇偶性和單調(diào)性，化為4^x-m•2^x＞2^x-1，再由參數(shù)分離和基本不等式，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由題意，對任意x∈R，f（-x）=-f（x），
即a^-x+ka^x=-a^x-ka^-x，
即k（a^x+a^-x）+（a^x+a^-x）=0，（k+1）（a^x+a^-x）=0，
因為x為任意實數(shù)，所以k=-1． 
解法二：因為f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
所以f（0）=0，即1+k=0，即k=-1．
當(dāng)k=-1時，f（x）=a^x-a^-x，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），f（x）是奇函數(shù)．
所以k的值為-1．
（2）由（1）f（x）=a^x-a^-x，
當(dāng)0＜a＜1時，y=a^x是減函數(shù)，y=-a^-x也是減函數(shù)，所以f（x）=a^x-a^-x是R上的減函數(shù)．
由f（4^x-m•2^x）+f（1-2^x）＜0，所以f（4^x-m•2^x）＜-f（1-2^x），
因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（4^x-m•2^x）＜f（2^x-1），
因為f（x）是R上的減函數(shù)，所以4^x-m•2^x＞2^x-1，
即m+1＜2^x+2^-x對任意x∈R成立，
由2^x+2^-x≥2$\sqrt{{2}^{x}•{2}^{-x}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，取得等號，
即有2^x+2^-x的最小值為2，
即m+1＜2，即m＜1，
所以，m的取值范圍是（-∞，1）．

點評 本題考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．