如圖，長方體中，，，點在上，且．

（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
（Ⅰ）建立空間直角坐標系，利用空間向量解決（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）以為坐標原點，分別以、、所在的直線為軸、軸、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系．則．
，．　　　                    ……2分
有，，
故，．
又，所以平面． 　　　                                     ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得是平面的一個法向量，
設向量是平面的法向量，則
  
令，則，，．                                          ……10分
．
所以二面角的余弦值為．                                            ……13分

點評：用空間向量證明立體幾何問題的依據(jù)還是相應的判定定理，如第一問中必須強調(diào)；另外，用法向量求二面角時，求出的可能是要求的角的補角，要仔細判斷二面角時銳角還是鈍角.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知：如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，且，為中點．

（1）證明：//平面；
（2）證明：平面平面；
（3）求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

正四面體S—ABC中，E為SA的中點，F(xiàn)為的中心，則直線EF與平面ABC所成的角的正切值是                 。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，則下列結(jié)論正確的是
A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBC
C．直線BC∥平面PAED．直線PD與平面ABC所成角為450

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）在直三棱柱（側(cè)棱垂直底面）中，，，且異面直線與所成的角等于．

（Ⅰ）求棱柱的高；
（Ⅱ）求與平面所成的角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,在三棱錐中,,,為中點,為中點,且為正三角形.

（1）求證:平面.
（2）求證:平面⊥平面.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，已知二面角α－PQ－β的大小為60°，點C為棱PQ上一點，A∈β，AC＝2，∠ACP＝30°，則點A到平面α的距離為(      )
A．1B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分10分） 如圖，P—ABCD是正四棱錐，是正方體，其中 

（1）求證：；
（2）求平面PAD與平面所成的銳二面角的余弦值；

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）
如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得. ，為的中點．

（1）當時，求平面與平面的夾角的余弦值；
（2）當為何值時，在棱上存在點，使平面？

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