Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+acos²x的圖象經(jīng)過點（0，2）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當x∈[-

π

6

，

π

4

]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,復合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，由已知可求a，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
 （2）由x∈[-

π

6

，

π

4

]，可求-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，解得sin（2x+

π

6

）的范圍，即可求出函數(shù)f（x）的值域．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）∵函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+acos²x的圖象經(jīng)過點（0 2），
∴f（0）=2，
∴a=2，…（2分）
∴f（x）=

3

sin2x+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，…（6分）
∴由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得kπ+

π

6

≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+

π

6

，

2π

3

+kπ]，k∈Z，…（8分）
 （2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，…（10分）
∴0≤f（x）≤3，即函數(shù)f（x）的值域為[0，3]．…（12分）

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，復合函數(shù)的單調(diào)性，屬于基本知識的考查．